中科院量子信息與量子科技創(chuàng)新研究院與阿里云宣布，11 量子比特超導(dǎo)量子計算服務(wù)在量子計算云平臺上線。這是繼 IBM 后全球第二家向公眾提供 10 比特以上量子計算云服務(wù)的系統(tǒng)。那么經(jīng)常提起的超導(dǎo)量子計算到底是怎么運(yùn)作的？

超導(dǎo)量子計算被視為最有可能實(shí)現(xiàn)普世量子計算機(jī)的體系，在近十幾年內(nèi)迅猛發(fā)展。2011 年加拿大的D-wave公司推出第一個商用的基于超導(dǎo)體系的量子退火計算機(jī)。在2017年末和2018年初，IBM和英特爾宣布他們分別制造了50和49個超導(dǎo)量子比特的計算機(jī)，而谷歌也很快就會發(fā)布最新進(jìn)展；IBM、中科院-阿里巴巴和Intel相繼推出基于超導(dǎo)體系的量子計算云平臺，讓量子計算走向大眾。這些研究成果使得距離實(shí)現(xiàn)“量子霸權(quán)”的目標(biāo)越來越近。

我們先來看看IBM的量子計算機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖首度曝光（詳細(xì)報道見http://quantum-study.com/information/1009.html）：

那么，在超導(dǎo)量子計算中，我們該如何定義一個qubit呢？事實(shí)上，在超導(dǎo)體中，有三種類型的量子比特——超導(dǎo)相位量子比特、超導(dǎo)磁通量子比特和超導(dǎo)電荷量子比特。

（詳細(xì)介紹見量子研究網(wǎng)站：http://quantum-study.com/article/1032/21.html）

1. 超導(dǎo)相位量子比特

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圖 1 (a) 超導(dǎo)相位量子位；(b) 超導(dǎo)相位量子位的等效電路圖。

超導(dǎo)相位量子比特通過在約瑟夫森結(jié)的兩端加上一個固定的偏置電流 Ie來實(shí)現(xiàn)（如圖1(a)）。一個約瑟夫森結(jié)可以看作是一個電容 C，一個電阻 R 和一個理想的約瑟夫森元件并聯(lián)的電路，如圖1(b) 所示，圖中的叉號表示理想的約瑟夫森結(jié)，它的電阻、電容為零，只有約瑟夫森超流在其中流動。由基爾霍夫定律可知

（1）

上式中的第一項(xiàng)為流過理想約瑟夫森結(jié)的超導(dǎo)電流，第二項(xiàng)表示流過電阻的正常電流，第三項(xiàng)為通過電容器的位移電流。將上式可改寫為：

（2）

此方程描述的是虛擬粒子在勢場中作阻尼非線性的振動，其中方程左邊第二項(xiàng)為阻尼項(xiàng)。虛擬粒子振動的特征頻率為，該頻率稱為約瑟夫森結(jié)的等離子體頻率。將 (2）式兩邊乘上電壓 V 并對時間積分，得到能量滿足的方程

（3）

在這里，我們再一次看到約瑟夫森結(jié)作為等效電容儲存的電能，作為一個非線性電感儲存的磁， 有正常電流流動時作為一個電阻熱損耗的能。在恒流偏置的情況下，勢能包含兩項(xiàng)，即

（4）

這是一個傾斜度 的余弦周期勢，如圖2(a) 所示。圖1(a) 所示電路的哈密頓量可寫為

（5）

圖 2 (a) 電流偏置的超導(dǎo)約瑟夫森電路的勢能曲線；(b) 能級量子化。

它描述一個虛擬粒子在傾斜的余弦周期勢中的運(yùn)動。當(dāng)偏置電時，如果虛擬粒子的動能足夠小，它將束縛在某個勢阱中，如圖2所示。在足夠低的溫度下，粒子的能級是量子化的，且由于是個非諧勢阱，能級間隔隨能量增加而減小。通過調(diào)節(jié)偏置電流 Ie調(diào)節(jié)勢阱的深度，使得阱中只能容納兩個或三個能級，如圖2（b）所示，選擇最低的兩個能級態(tài)編碼超導(dǎo)相位量子位 |0? 和 |1?。在 |0?和 |1? 張成的子空間中，哈密頓算符（5）約化為

其中泡利算符 σz = |0? ?0| ? |1? ?1|，兩個最低的能級的能量之差 E01大約為5-10GHz，屬微波頻段，所以對相位量子位的調(diào)控必須用微波。這樣，這兩個能級便可表示成一個量子比特。

2. 超導(dǎo)磁通量子比特

射頻超導(dǎo)量子干涉器件（RF SQUID）是實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)量子比特最簡單的電路，它是包含一個隧道結(jié)的超導(dǎo)環(huán)，如圖3（a）所示。當(dāng)有外部磁通 Φe穿過超導(dǎo)環(huán)時，會在環(huán)中產(chǎn)生超流，調(diào)節(jié) Φe可以控制環(huán)中超流的大小。由于磁通量子化，隧道結(jié)兩側(cè)的相位差 φ 滿足

(6)

式中 n 為整數(shù)，Φ 為通過環(huán)的總磁通，它包括 Φe和由環(huán)自感產(chǎn)生的磁通。此系統(tǒng)的勢能可表示為

(7)

圖 3 (a) 單個約瑟夫森結(jié)的超導(dǎo)磁通量子位線路；(b) 超導(dǎo)磁通量子位的能級圖。

上式第二項(xiàng)為超導(dǎo)回路的自感磁能。電路的拉格朗日量為。當(dāng)環(huán)的自感足夠大，且外加磁通在 Φe= Φ0/2 附近，系統(tǒng)等價于一個質(zhì)量 的虛擬粒子在雙勢阱中運(yùn)動，如圖3（b) 所示。勢阱的形狀可以通過外加磁場來改變。在超低溫條件下，雙勢阱中的能級量子化，利用左右勢阱中能量最低的兩個態(tài)作為量子位的兩個狀態(tài)，稱為磁通量子位。物理上，左右兩個量子態(tài)分別對應(yīng)于環(huán)中的順時針和逆時針方向的超流。

為了實(shí)現(xiàn)雙勢阱的結(jié)構(gòu)，環(huán)的自感必須足夠大，因此要求環(huán)的尺寸較大。但是較大的環(huán)的尺寸會導(dǎo)致磁通量子比特對外界磁通的起伏非常敏感，從而引起它的消相干。為了解決這個問題，Delft 的 Mooij 小組和 MIT 的 Orlando 小組合作提出了一種新的磁通量子位——三結(jié)磁通量子位。該磁通量子位用約瑟夫森結(jié)的電感來代替超導(dǎo)環(huán)的幾何電感，從而減小環(huán)的面積，抑制了外界噪聲的影響。如圖4(a) 所示，一個超導(dǎo)環(huán)中包含兩個大的約瑟夫森結(jié)和一個小約瑟夫森結(jié)，每個結(jié)的約瑟夫森耦合能都遠(yuǎn)大于結(jié)的充電能。其中兩個大結(jié)的具有相同的約瑟夫森耦合能 EJ 和結(jié)電容 CJ，另一個結(jié)具有小的約瑟夫森耦合能 αEJ和結(jié)電容 αCJ（0.5 α 1）。由于這個結(jié)構(gòu)的尺寸較小，因此可忽略其自感磁能。于是系統(tǒng)的勢能為

（8）

上式中已經(jīng)考慮了量子化條，

方程中 φ1、φ2和 φ3分別是三個結(jié)兩側(cè)的相位差。當(dāng)外加磁通在 Φe= Φ0/2 附近時，其勢能的等高線圖如圖4 (b) 所示。

圖 4 (a) 三結(jié)磁通量子位；(b) 在 Φe= Φ0/2 附近的勢能曲線，勢阱中的兩個黑色的點(diǎn)對應(yīng)兩個基矢態(tài)。

在相空間中，等高線在縱向和橫向都是以2π 為周期的二維周期結(jié)構(gòu)。在每個 2π × 2π 的元胞內(nèi)有一個雙勢阱，雙勢阱中兩個能量最低的能級與其他能級分隔較開，形成一個準(zhǔn)二能級系統(tǒng)。與這兩個能級相應(yīng)的本征態(tài)分別對應(yīng)順時針電流態(tài) |0? 和逆時針電流態(tài) |1?。當(dāng)外加磁通 Φe遠(yuǎn)離Φ0/2 時，虛擬粒子俘獲在左右勢阱中難于隧穿，表現(xiàn)為兩個經(jīng)典的電流態(tài)。而在Φe= Φ0/2 附近，虛擬粒子會產(chǎn)生隧穿，導(dǎo)致左右簡并的能級劈裂，? 為最小的能量間隔，如圖5所示。 在 |0? 和 |1? 張成的子空間中，系統(tǒng)的哈密頓量約化為

（9）

這里 Ip為環(huán)中的持續(xù)電流 這樣我們便可以用勢阱中獲得一個二能級系統(tǒng)。事實(shí)上，我們通常用粒子處于左右兩個勢阱中的哪一個來標(biāo)記量子態(tài)，從而描寫一個量子比特，而這兩個量子態(tài)則分別對應(yīng)于超導(dǎo)環(huán)中有一個順時針和逆時針的超導(dǎo)電流。

圖 5 超導(dǎo)磁通量子位的能級圖

3. 超導(dǎo)電荷量子比特

最簡單的超導(dǎo)量子位的線路如圖6 (a) 所示。 一個庫珀對盒子通過一個約瑟夫森結(jié)和一個大的超導(dǎo)體耦合，另一端通過門電容 Cg和控制門電壓耦合。當(dāng)減小約瑟夫森結(jié)的尺寸時，可以使結(jié)的電容 CJ 減小，從而增大約瑟夫森結(jié)的充電能EC。如果充電能 EC遠(yuǎn)大于結(jié)的耦合能 EJ 時，起主要作用的是電荷自由度。在足夠低的溫度下（kT ? ?），粒子隧穿被抑制，只有庫珀對隧穿到超導(dǎo)島上。隧穿到島上的庫珀對數(shù)可以通過調(diào)節(jié)門電壓進(jìn)行控制。系統(tǒng)的哈密頓量寫為

（10）

其中 n 為島上剩余的庫珀對數(shù)算符為單電子的充電能，門電荷。在ng 等于半整數(shù)附近，島上相差一個庫珀對的兩個臨近電荷態(tài)的能級與其他能級分隔較開，形成一個準(zhǔn)二能級系統(tǒng)，稱為電荷量子位。比如在 ng= 1/2 附近，島上不包含多余庫珀對和包含一個多余庫珀對的兩個態(tài)起主要作用，如圖6(b)。用 |0? 和 |1? 分別表示這兩個態(tài)，在這兩個態(tài)張成的子空間中，哈密頓量（10）式約化為

上述電荷量子位的耦合能無法控制，如果用含兩個結(jié)的超導(dǎo)量子干涉儀代替約瑟夫森結(jié)，并在干涉儀的環(huán)中施加磁通 Φe（如圖6(c)），就能得到由外部磁通Φe調(diào)控的有效耦合能，其中 EJ0是量子干涉儀中每個結(jié)的約瑟夫森耦合能。這樣，通過控制電極電壓，可以讓系統(tǒng)變成一個近似的二能級系統(tǒng)，能級如下圖所示，從而完成一個量子比特的表示。

圖 6 (a) 最簡單的超導(dǎo)電荷量子位；(b) 超導(dǎo)電荷量子位的能級；(c) 耦合能可控的電荷量子位。

總結(jié)一下，超導(dǎo)量子比特比較容易在芯片上集成，即它的可擴(kuò)展性很好，同時也可以靈活地控制參數(shù)使得它具有良好的初態(tài)制備能力，以及由于超導(dǎo)作為一種宏觀量子行為，使得它的讀出能力很強(qiáng)。但是，超導(dǎo)量子比特耦合了很多環(huán)境自由度，因此其退相干時間太短了，而且需要在極低的溫度下工作，使得它資源消耗較大。

參考文獻(xiàn)：

1. 張祖榮，“抗消相干超導(dǎo)量子計算研究”，國防科技大學(xué)博士學(xué)位論文（2014）.

2. https://www.quantamagazine.org/the-era-of-quantum-computing-is-here-outlook-cloudy-20180124/

（詳細(xì)介紹見量子研究網(wǎng)站：http://quantum-study.com/article/1032/21.html）